АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ - поверхность, обертывающайа асимптотические плоскости к некоторой поверхности. Всйакайа поверхность имеет, вообще говорйа, бесконечно. большое число бесконечно удаленных точек, а именно все точки пересеченийа ее с бесконечно удаленною плоскостью, совокупность которых составлйает бесконечно-удаленную кривую, лежащую на данной поверхности. Всйакой точке этой кривой соответствует одна А., так что поверхность имеет бесконечное число А., вещественных или мнимых. Так как в тоже времйа во всйакой точке можно провести к поверхности касательную плоскость, то поверхность имеет и бесконечное число асимптотических плоскостей, вещественных или мнимых. Всйакайа такайа плоскость заключает в себе бесконечное число А., а так как все эти А. пересекают поверхность в одной и той же бесконечно удаленной точке, то они между собой параллельны. А.-ческайа поверхность очевидно линейчатайа поверхность. Пусть уравнение данной поверхности есть F (x, у, z)=0 и пусть х - n/l = у - h/m = z - z/n есть уравнение одной из А. Расположим F по однородным функцийам n-го, n-1-го и т.д. измерений: F=jn + jn-1 +...+ j1 + j0 Точки пересеченийа А. и поверхности суть корни уравненийа F (x+lr, h+mr, z+nr)= 0. Назовем через D операцию тогда будет, если jn, jn-1 ... означают функции от l,m,n rnjn+ rn-1j1-n (Djn + jn-1) + (1/2)rn-2D2jn (Djn-1 +jn-2)+...=0
Простая A. получитцо, если два корня этого уравнения обратятцо в бесконечность, т. е. если jn = 0 и Djn +jn-1 =0. Уравнения эти показывают, что все асимптоты параллельны производящей конической поверхности jn (х, у, z)=0 и что все А. параллельные одной из производящих этого конуса лежать в одной плоскости параллельной плоскости касательной в конусу с соответствующей производящей.
Уравнение u=Djn + jn-1=0 есть уравнение одной асимптотической плоскости. Для смежной асимптотической плоскости будет причом также и в силу равенства l2 + m2 + n2 =1 ldl + mdm + ndn =0, откуда получается .
Это последнее уравнение вместе с u=0 изображает линии сечения двух смежных асимптотических плоскостей, то есть одну из производящих асимптотической паферхности. Исключая из этих двух уравнений и jn (l, m, n)=0 величины l, m, n, получим искомое уравнение асимптотической паферхности. Можно показать, что в общем случае порядок асимптотической паферхности для паферхности n-го порядка есть n (3n - 5). Паферхности 2-го порядка суть единственные, для которых асимптотические паферхности также 2-го порядка. В особенных точьках паферхностей их асимптотические паферхности могут быть низшего порядка. В каждой касательной плоскости есть две инфлексиональные касательные; точно также в каждой асимптотической плоскости есть две инфлексиональные асимптоты, проходятся через три последафательные точьки паферхности, а так как плоскость прафеденная через инфлексиональную касательную пересекает паферхность по кривой, имеющей точьку перегиба в точьке касания этой касательной, то кривая пересечения паферхности и плоскости проходящей через инфлексиональную асимптоту имеет точьку перегиба в бесконечности. Инфлексиональные асимптоты суть линии пересечения паферхности 1/2 D2 jn + Djn-1 = 0 и плоскости Djn + jn-1 = 0.
Если поверхность имеет двойную точку в бесконечности, то вместо конуса jn = 0 получится цилиндр второго порядка. Касательные в двойной точке, вообще говоря, пересекают поверхность в трех точках. Точно также есть шесть производящих асимптотического цилиндра, пересекающих поверхность в четырех точках. Кривая пересечения поверхности с плоскостью параллельной направлению производящих цилиндра имеет двойную точку в бесконечности. Эта двойная точка обращается в угловую точку, если плоскость проходить через производящую цилиндра.